JAPLA 2005/10/22 hanoiw0.txt (9/08)

　　　 　ハノイ　の　塔　の　初等解

　　　 　　繰り返しループ　と　再帰法　　

　 　中野嘉弘　82 　西川利男　JAPLA会長　　 　山下紀幸　80

　FAX 専 011-588-3354 T・ F 047-163-0364 　　T・F 045-851- 3721

　　　　　　　　　　　０．　は　し　が　き

　　先日（'05.8.22）の山下 FAX は「ハノイの塔の APL 版のプログラムは西川著に

あるが、そのＪ言語版を作りたい。　協力を乞う」を伝えて来た。　（文献１、２）

その１時間後、西川から、早くも反応があった。　Iverson か Hui の再帰プログラム

が、既に公開されていると云うものだ。　（文献３、−ａ，−ｂ）

　　山下、中野は早速トライして見て、旨く動くものだと、感心、ひとしきり。

しかし、プログラムの論理の理解は今一つ。　山下は「小学生にも判るように改造を

したい」と希望を述べた。　（文献４）　西川から直に反応「判り難いのは、Tacit な

プログラム形式の為であろう。 Explicit 形式の例を！」の FAX があった（文献５）。

例は、元来は　ＡＰＬでの西川のもの（文献２）であるから再帰プログラムであること

には変わりはない。

　　山下、中野にとっては、その再帰性が何とも理解し難いのだ。　

小学生ではなくて、大人いや、むしろＪ言語のプロ級レベルの話は、末尾のほうで論議

したい。　普通の論文ならば、西川の再帰法から語るべきかも知れないが、それが難儀

なのだから、この順序となる事を御理解下さい。

　「ハノイの塔 Hanoi's Tower」　いわゆる Chinese Puzzle と呼ばれる中の一つ。

　　場所（例えば柱）Ａ に大きさの順に（刺し）重ねた ｎケ の円盤がある。

これを、別な柱 Ｂ に移動させたい。 移動は１ケづつ。　作業場所として第３の柱 Ｃ

を利用してよい。　ただし、各柱に刺さっている円盤の大きさの順番は替わっては不可である（つまり、大きな円盤が小さな円盤の上位には来ないように）。

最終的に、場所Ｂに、ｎケの円盤全部が、場所 Ａ に於ける最初と同じ大きさの順に、

移っていれば良い。　円盤数 ｎ が 、例として、 ８ ならば、2^n -1 = 255　回の操作

で完了する（文献６）。　柱 Ｂ と Ｃ の役割を入れ換えて、Ｂ の方をを作業用として

解答する例も、同様に可能である。　本質的には同じ事だ。　

より具体的には、後尾 ５．節 辺りの説明を見よ。　

　　　　　　　　　　　　　１．　中野　の　論理

　　一松・竹之内先生の教育的名著「新数学事典」（文献６）に「パズル、ハノイの塔」の論理が解説されている。　西川 FAX　とその解説を読んで、数日後、中野は下記の

如きプランを FAX した。　（文献７）

１）円盤　１ケ　の場合

　　 A: 0 １　　操作は、柱 A から　円盤 １ を柱 B へ　だから、最初は | A |

B: 0 0 は　単に円盤を刺す柱の台座とする。 移動後は | B |

　　　　　　　 と表示出来る。　これを 解１（A，B）と名付る。　one step だ。

２）円盤　２ケ　の場合

A: 0 ２　１ 操作は　A: 0 2 1 故、　解は　| A A C |

　 　B: 0 B: 0 2 1 　　　 | C B B |

C: 0 C: 0 1 で　ｂ軸へ　移動する

　　　　　　　　これを　解２（A，B）　と名付ける。　three steps である。

　　これは、先ず、A 軸から C 軸へ、解１（A，C）を行い、円盤１を 柱 C に移す。

　　次ぎに、A 軸から B 軸に、解１（A，B）で、円盤２を柱 B に移す。

　　最後に、C 軸から B 軸に、解１（C，B）で、円盤１を柱 B の円盤２の上に移す。

　　この最初と最後の移動は、つまりは、往復移動的なものである。

３）円盤　３ケ　の場合

　　A: 0 ３　２　１ 　解は先ず、 円盤 ２ と １ を 柱 C に移す。　その解は、

　　B: 0 前例２）の解２（A，C）であるので　B＜−＞C と交換して

C: 0 | A A B |

| B C C | である。

　　次ぎに、　残った円盤 ３ を　柱 B に移す。　解１（A，B）　である。

　　最後に、柱 C の円盤を、柱 B の　円盤 ３ の上に移す。　解は　解２（C，B）

　　であるから、前例２）で　A ＜−＞ C と交換して　　| C C A |

| A B B | である。

　　全体を纏めると　 | A A B A C C A |

| B C C B A B B | の seven steps となる。

４）円盤　４ケの場合

　　A: 0 ４　３　２　１ 解は先ず、柱 A の円盤 ３　２　１ を 柱 C に移す。

B: 0　　　　　　　　　 その解は、前の　３）節の 解３（A，C）である。

C: 0 次ぎに、柱 A 上の最大円盤 ４ を 柱 B に移す。

　　　　　　　　　　　　　　最後に、柱 C上の円盤 ３　２　１　を 柱 B に移す。

その方法は　解３（C，B）　である。　　纏めて

　　　| A A C A B B A A C C B C A A C |

| C B B C A C C B B A A B C B B |

　これが、　解４（A，B）　であり、 step 数は　７＋１＋７＝１５ である。

５）円盤数が　５　の場合　

　解５（A，B）は　解４（A，C），解１（A，B），解４（C，B）　の結合。

　ｓｔｅｐ数は　１５ ＋ １ ＋ １５ ＝ ３１　である。

６）それ以上は、同好の事を推進すればよい。

　一般に　ステップ数は　円盤の個数を ｎ として （ ２＾ｎ − １）である。

２．　中野流　ループ解 　hand

　　小学生でも判るようにとなれば 、先ずは BASIC 的にならざるを得ない。　

また、Ｊ言語の TACITなプログラミングは、８０才以上のシニアには無理だ。

その範囲内で、Ｊ言語での、比較的簡潔な解答（handy hanoi） hand を作って見た。

　　 hand =: 3 : 0

:

h=. h1=. 2 1 $ (0{.y.), 1{y.

k=. 2

label_2.

h=. (((1{y.),(2{y.)) chg h),"1 h1,1 ((0{y.),(2{y.)) chg h

k=. k+1

if. k > x. do. h return. end.

goto_2.

)

　関数 chg は文字の入れ換え change をする。　前節１．で、解１（A, B）を　

解１（A,C） や 解１（C, B） などと、引数を換える 事を行う。　

下例の chg は、当面のもので、改良が期待される。　小学生にも判るように、との

条件が付けれれたので、初等教育的に、やむなく導入したものだ。　

エレガントさ優先なら、そもそも、無くても良い。　

chg =:

　　　:

abc =. x =. x.

x0 =. 0{ x

x1 =. 1{ x

x2 =. ( -. abc e. (x0, x1)) # abc

y0 =. ,y.

n =. $ y0

n2 =. n % 2

i =. 0

z0 =. ' '

while. n > i do.

y0i =. i{ y0

　if. y0i = x0 do. y0i =. x1

goto_0. end.

if. y0i = x1 do. yi1 =. y0i

y0i =. x0 end.

label_0.

z0 =. z0, y0i

i =. i+1

end.

z0 =. }. z0

z =. (2, n2) $ z0

)

NB.　 関数 chg の上例は取りあえずのもので、改良が期待される。

　 例解　（デイスク枚数 １ は問題外に付き省く）

2 hand y =. 'ABC'

AAC

CBB

3 hand y

AABACCA

BCCBABB

4 hand y

AACABBAACCBCAAC

CBBCACCBBAABCBB

5 hand y

AABACCAABBCBAABACCACBBCCAABACCA

BCCBABBCCAACBCCBABBACAABBCCBABB

　　　　　　　　　　　 ３．　中野流　再帰解　　hr

　　西川 FAX の意見「ハノイの塔問題の本質は再帰プログラムだ。　ループ不要！」

（文献９、１２）に従い、中野は再帰法でもトライして見た（文献１０）。

例題によく出て來る Factorial や Fibonacci　に比して、遥かに難しい問題である。

勿論、中野流の初等論理を用いた場合の話であって、もっとエレガントな論理では、

そうでは無いのかもしれぬ。

　　以下のプログラムは、確かにループは使っていない。　 下の例解から見て、再帰法

であると云えよう。　 　「もっとエレガントな再帰法を」と云われれば、先人の真似に

近くなりそうだ。 後節 ６．の末尾で再論する。　

　　hr =: 3 : 0

hy < y.

)

hy =: 3 : 0

h1 =. 2 1 $ 'AB'

(('B','C') chg fh y.),"1 h1,"1 ('A','C') chg fh y.

)

fh =: >&{:

例解

　　]y0 =. 2 1 $ 'AB'

A h1 （円盤１ケ）　

B 1 step

hr ^:(1) y0

AAC h2 （円盤２ケ）

CBB 3 steps

hr ^:(2) y0

AABACCA h3 （円盤３ケ））

BCCBABB 　　 7 steps

hr ^:(3) y0

AACABBAACCBCAAC h4 （円盤４ケ）

CBBCACCBBAABCBB 15 steps

hr ^:(4) y0

AABACCAABBCBAABACCACBBCCAABACCA h5 （円盤５ケ）

BCCBABBCCAACBCCBABBACAABBCCBABB 31 steps

　ここで考える。　Ｊ言語での POWER （演算子の反復）は、再帰法の内なのかな？　

某書にあった「再帰法は漸化式だ。」と？　「再帰呼出し」の定義は？

　　　４．　ハノイの塔（再帰）・大人のプログラム　（APL と J-Explicit）

　

　１）　西川のＡＰＬ（再帰）プログラム

　　ここで、「はしがき」に述べた、西川の「ハノイの塔（再帰プログラム）」に

戻る。

　元来は、西川著のＡＰＬ言語のテキスト（文献２、pp.129-132）に発する。　なお、

後述のＪに合わせるため、テキストのプログラムで、変数の一部の入れ換えを行った。

再録するには、例の特殊ＡＰＬ記号のフォントが障害になるので、不十分の点は御寛恕

頂きたい。　例えば、コメント（ä Cap null 帽子小丸）や書式化関数（® Top null

屋根小丸）など、多数のＡＰＬ特殊フォントは、一般のワープロには無いので。　

　　　　　　　▽　 HANOI[□] ▽

[0] D HANOI N;X;Y;Z

[1] ä TOWER OF HANOI

[2] X ← D[1]

[3] Y ← D[2]

[4] Z ← D[3]

[5] IF: → (0=N)/0　　　　　　　　　　　　　　

[6] ELSE: (X, Z, Y) HANOI N-1

[7] 'MOVE ', ( ® N) ,' FROM ',X,' TO ',Y

[8] (Z, Y, X) HANOI N-1

▽

【註】　行[5],[6] 中の IF: や ELSE:　は　行ラベル。

行[5]の意味は、(0=N) が成立すれば（[0]行へ）終了する。

　　　　　　　　

ＡＰＬ例解 　　 'ABC' HANOI 3

　　　 　　MOVE 1 FROM A TO B

　　　 　　 MOVE 2 FROM A TO C

　　　　　 MOVE 1 FROM B TO C

　　　　　 MOVE 3 FROM A TO B

　　　 　　MOVE 1 FROM C TO A

　　　 　　MOVE 2 FROM C TO B

　　　 　　 MOVE 1 FROM A TO B

( APL フォントの問題があるので、実際の西川プログラムは、末尾の付録に再録 ）

【註】　再帰演算を許さないＡＰＬシステムもある。　中野が２０年来、愛用している

　　　Dyna APL （DYNAX社、第1.0 版　1992年 2月）は、同じプログラムで、 RUN

　　　には入るが、文番号[2] か [3] で WS full エラーを起こす。　再帰法の原点を発見

　　　出来ずに、到達出来ない「堂々巡り」をやっているらしい。

　　　　また、再帰演算を許すならば、ＡＰＬ以外の言語、例えば TURBO Pascal の

入門書でも、上と同巧の再帰法プログラムが例示されている。　（文献２−ａ）

　　下例は、柱 A から柱 C へ移す場合であるが、良く似たプログラムである。

procedure move_disk (n, a, b c : integer);

begin if n>0 then begin

move_disk(n-1, a, b, c);

writeln(n: 3, ':', a ' -> ' ,c');

move_disk(n-1, b, a, c);

end; end;

　２）西川のＪ言語（再帰、Explicit的）プログラム

　

次に、Ｊ言語による西川プログラム（文献５）を以下に示す。

これは、いわゆる J の Explicit な構文であり、APLプログラムと殆ど同じである。

Tacit な構文は、難物であるので、次節に述べる。

　　　NB. Tower of Hanoi

NB. by T. Nishikawa, 2005/8/23

wr=: 1!:2&2

hanoi =: 3 : 0

:

if. x. = 0

do. y.

else.

p =. (x. - 1) hanoi (0 2 1 { y.)

wr 'Move ', (": x.),' from ', (0{ y.), ' to ', (1{ y.)

r =. (x. - 1) hanoi (2 1 0 { y.)

end.

'*** end ***'

)

Ｊ例解 3 hanoi 'ABC'

Move 1 from A to B

Move 2 from A to C

Move 1 from B to C

Move 3 from A to B

Move 1 from C to A

Move 2 from C to B

Move 1 from A to B

*** end ***

【註】　Ｊ のこの例は、前例と比較すれば、３本柱の内、ＢとＣとが入れ換わった

　　　場合が示されているかも知れぬ。　（０．節の末尾の説明を参照。）

　　　

　　３）　中野の 大人の仲間入り的プログラム　

　前節２，３．の中野流プログラム hand や h1 rから、先に予言した如く、文字交換の

　関数 chg を使わんでも良いと云うもの。

　　　　NB. by Y. NAKANO 2005.8.30

hanoin =: 3 : 0

hz =: 2 1 $ ' '

:

if. x. = 0 do. (2, x.) $ y.

else. (x. - 1) hanoin (0 2 1 { y.)

wr hz =: hz, "1 (2 1 $ (0{ y.), (1 {y.))

(x. - 1) hanoin (2 1 0 { y.) end.

)

　直前の西川流とソックリであるが、出力は異なり、先の中野例の如く簡潔となる。

小学生向けに「再帰法」の説明は難儀であるから、文字交換（関数 chg）を利用したの

であった。

　　　　　　　　　５．　ハノイの塔（再帰法）の別解

１）　竹内流プログラム hn

　　この原稿が殆ど出来て、摺り合わせのチェック段階に来た後に、山下 FAX は、慶応

　大学、竹内先生の旧報告を再発見と伝えて来た（文献１４）。

　　hn =: 3 : 0

if. y. = 1

do. 1 3 $ _1 0 1

else. ( 0 2 1 {"1 hn <: y.), ((-y.),0,y.), 1 0 2 {"1 hn <: y.

end.

)

　例解　　hn 3 　　NB. （円盤　３ケ　の場合）　　

_1 0 1

_2 2 0 説明　「数字 _n は、 n 番目のチップ（円盤）を

0 1 _1　　　　　　　　　を取り、数字 n のところ　に置く」

_3 0 3　　　　　　　　　と云う意味だそうです。

1 _1 0

0 _2 2

_1 0 1

　　　この竹内プログラムは仲々、秀逸である。　

しかし、小学生にも判るように、との条件からすれば、判り難い。　　

そこで中野は、今までの例の如く、柱名 A B C との対応をも、出力するように、

小さな改良を加えた。　柱 C を作業用 としての プログラム hnacb である。　

これによる、小学生教育の原稿を試作した（関数 hnacb は簡単だから表示は省略）。

　 　hnacb 2 　 　 最初、柱 A に円盤 1（小） と 2 （大）が刺さっている。　

A C B　 　 1（上）、2（下）とする。

_1 1 0 　円盤 1 を柱 A から取って柱 C へ移す。　＿記号は除去を意味する。

_2 0 2 2 A B ０は何もしないを示す。

0 _1 1　　　　　 1　　 C B へ。　　単なる数字は置く事を示す。

　　　　　　結局、柱 B には円盤　1（上）と 2（下）が移て来た。　３手で完了。

hnacb 3　 　最初、柱 A に、円盤 1（小）、 2（中）、3（大）が、この順序で

A C B 刺さっている。　

_1 0 1 円盤 1 を柱 A から取って柱 B へ移す。　＿記号は除去を意味する。

_2 2 0 2 A C ０は何もしないを示す。

0 1 _1 1　　 B C 　　　　単なる数字は置く事を示す。

_3 0 3 3 A B

1 _1 0 1 C A

0 _2 2 2 C B

_1 0 1 1 A B

　結局、柱 B には円盤　1（上）、2（中）、 3（下）が移て来た。　７手で完了。

【注意】　今回の手順３手までを、円盤数が２つの前例と比べると、柱名 B と C とが

　　　　交換されている事がわかる。　つまり、前の手順で （B, C） 交換したものを、

　　　　利用すれば、円盤枚数で次の場合の手順の前半は済む事が判る。

　　　　同じ様に、第５手から７手目までは、柱名の交換（A,C）をしたものを利用すれ

　　　　ば良い。　中央の（今は第４手目）は、最大円盤を、柱 A から柱 B へ移動する　　　　だけであるらしい。

　　　　　直前の手順を少々変えて、次の手順を得る方法を、数学では、再帰法と呼ぶ。

　　　　英語では　リカージョン RECURSION と呼ぶ。

次の円盤枚数　４　の場合の手の予想は：

　　　　前半の７手は、枚数３の手順で、柱名交換（B,C）したものを利用する。

　　　　第８手目（中央）は、最大円盤４を直接、柱 A から B へ。

　　　　後半の７手は、枚数３の手順で、柱名交換（A,C）したものを利用する。　　

　　　　全部で１５手と予想される。

　　では、大人の実際のプログラムの結果はどうか？

　　 hnacb 4 最初、柱 A に、円盤 1、2、3、4 が、この小大順で刺してある。

A C B

_1 1 0 円盤 1 を柱 A から取って柱 C へ移す。

_2 0 2 2 A B

0 _1 1 1 C B

-3 3 0 3 A C

1 0 _1 1 B A

0 2 _2 2 B C

_1 1 0 1 A C

_4 0 4 4 A B

0 _1 1 1 C B

2 _2 0 2 C A

1 0 _1 1 B A

0 _3 3 3 C B

_1 1 0 1 A C

_2 0 2 　 　 2 A B

0 _1 1 1 C B

　結局、柱 B には円盤　1（上）、2（中の小）、 3（中の大）4（下）が移て来た。

　１５手で完了。　どうでしたか？　予想と合っていましたか？

２）　表示　の　改良　　

　　前項の操作、及び４．節の西川のＡＰＬプログラムに例「円盤１を柱あからＣへ

移す」等は、記号的に　1AC 等と表示したら、簡潔で良いと思われる。　

　中野の１．、２．、３．節の例および 次の ６．節の Iverson あるいは Hui の例は

簡潔ではあるが、移動対象の円盤の番号は示してはいない。

そこで、表示の改良に意味がある。　

　そこで中野は、その為の関数 pkupw （意味は pickup writing） を 考えた。

例１）中野流 これはタテ書き 例３） Iverson or Hui 流 （６節参照）

　　　 'ACB' pkupw (hn 2) 2 h y =.'ABC'

　121

　 　AAC　 AAC 　　　

CBB 　　　　　　　　　　　　 　　CBB　　　　

例２）中野流 これはヨコ書き 例４）竹内流 　 ヨコ書き　

hnacb 2 hn 2

A C B

_1 1　0 _1 1 0

　_2 0 2 _2 0 2

0 _1 1 0 _1 1

関数 pkupw =: 3 : 0

:

yn =. 0{ $ y.

pz =. 3 1 $ ' '

i =. 0

while. yn > i do.

iy =. ,(i{y.)

im =. mx iy

pk =. (":im) ,"1 (x. pkup iy)

pz =. pz, "1 pk

i=. i+1

end.

pz =. }. "1 pz

|: (yn, 3) $ pw =. 0 { pz

)

　　　　　　 mx =: >./

pkup =: 3 : 0

:

(xy # x.) /: (xy =. (-.(y. = 0))) # y.

)

例３）中野流　最簡ヨコ書き

'A C B' hn012 2 関数の左引き数を柱の文字表示と兼用にしたもの。

_1 1 0 小さな工夫に付き、関数　hn012 の表示は省略。

_2 0 2 先の関数　hnacb などでも同様。

0 _1 1 この様な工夫も面白い。

【注意】竹内流ハノイで、円盤移動を「負数、例えば -1 を取って、正数 1 に移す」

とあるのは、例えば「0 1 2」の「最小数 0 を取って、最大数 2 に移す」と

　　　しても、同じ事である。　上記のプログラムの幾つかは、それを利用している。　 　　　次節６．の中野関数　hc などに於いても同じ。

　　　　　６．Ｊ言語・プロ級のプログラム（J の Tacit 構文）

　西川 によれば、Ｊの「ハノイの塔」の Tacit プログラムは、すでに Iverson あるい

は Hui によって、J Introduction and Dictionary の中で、与えられていた。

（文献３−ａ，ｂ）　

　１）Iverson and/or Hui 流

NB.　 Original version

NB. J Introduction and Dictionary J2 (1995) p.23

NB. J Introduction and Dictionary J3 (1996) p.47

h =. b ` (p,. q,. r) @. c tacit な条件分岐構文 (・・・｀・・・ @.・・・)　

c =. 1: < [　　　　　 c の条件で 0 （<1 の事）なら　b の部分へ。

　　　　　　　　　　　　　前節 Explicit構文の do. 文 (2, x.) $ y. 相当。

b =. 2 &, @[ $ ] b は結果を　２行で表示するのみ。

　　　　　　　　　　　　　c の条件で 1 （>0 の事）なら　(p,. q,. r,.) の部分へ。

前節 Explicit構文の do. 文 相当。

p =. <:@[ h 1: A. ]　　 1: A. 'ABC' は 前節の　(0 2 1) { y. 相当。

　 　　　 <:@ は、その時の左引数から 1 を引いた値。

前節 Explicit構文の (x. - 1 ) 部分に 相当。

q =. 1: h ] 2 1 $ 'AB' の文字列を採る意味。

r =. <:@[ h 5: A. ] 5: A. 'ABC' は 前節の　(2 1 0) { y. 相当。

　　　　　　　　　　　　　前節 Explicit構文の (x. - 1 ) で始まる第２式に相当。

Tacit 例解　

　　NB. 3 h x =. 'ABC'　　

NB. AABACCA

NB. BCCBABB

NB. 0 1 2 3 4 <@h "0 1 x　　　　　　　<@h"0 1 は　box 化して纏める為。　　 NB. ++-+---+-------+---------------+

NB. ||A|AAC|AABACCA|AACABBAACCBCAAC|

NB. ||B|CBB|BCCBABB|CBBCACCBBAABCBB|

NB. ++-+---+-------+---------------+

　　慣れるのは大変であろうか？

　２）　中野流　Tacit関数 hc

これぞ、大人の内の大人のプログラムか？と思われる。　竹内関数 hn の Tacit化

である。　竹内先生も元来は、同じ事を狙ったが、Explicit に止めたのかも知れぬ。

　　　hc =: bc ` (pc ,. qc ,. rc) @. cc NB. or omit ,. rc

cc =: 1: <[

bc =: 3 &, @[ $ ] NB. 3 (or 2行 at h )

pc =: <:@[ hc 1: A.]

qc =: 1: hc]

rc =: <:@[ hc 2: A.] NB. 2 (or 順列 5 番 at h )

例１） 1 hc 'ACB' 1 hc '021' 対照　 1 h 'ABC' 1 h '012'

A 0 A 0

C 2 （左の中央行欠、関数 bcで 3→2も可） B 1 　　 　　　 B 1

例２）　2 hc 'ACB' 2 hc '021' 対照　 2 h 'ABC' 2 h '012'

AAC 002 AAC 002

BCA 120 （左の中央行欠）

CBB 211 CBB 211

例３） 3 hc 'ACB' 3 hc '021' 対照　 3 h 'ABC' 3 h '012'

AABACCA 0010220 AABACCA 0010220

CBACBAC 2102102 　　 （左の中央行欠）

BCCBABB 1221011 BCCBABB 1221011

例４） 4 hc 'ACB' 4 hc '021' 対照　 4 h 'ABC' 4 h '012'

AACABBAACCBCAAC 002011002212002 AACABBAACCBCAAC 002011002212002

BCABCABCABCABCA 120120120120120 （左の中央行欠）

CBBCACCBBAABCBB 211202211001211 CBBCACCBBAABCBB 211202211001211

結局、竹内流関数 hn は「負数を利用、３字ヨコ書」、中野流 hc は「最小、最大数

を利用、３字タテ書」だけの違いで、ほぼ同じものである。　

そして、前者 hn は Explicit 的に対し、後者 hc は Iverson らと同じく、Tacit 的で

ある。　かくて、目的は達成された。

ただし、 Iverson らのそれとは、上例で見る如く、「中央行の有無」だけの違いである。

かくて、前節３．の冒頭で述べた如く「余りエレガントな事をやれば、先人の真似事に

近くなる。」を痛感させられる。　

３）　「中野流」　左右の引数を交換した　ｔａｃｉｔ　プロ

　柱の記号　’ＡＣＢ’等を左引数にして置くと、操作の表示が何かと見易くなる。

先行の諸節の例示から推察出来よう。　関数　hd　である。

　　　hd =: bd ` (pd ,. qd ,. rd) @. cd

cd =: 1: < ]

bd =: ] &, @ 3: $ [

pd =: 1: A.[hd <: @ ]

qd =: (_1, 0, 1) & * @ ]

rd =: 2: A.[ hd <: @ ]

　理屈は, 前項２）の　関数　hc　と比較すれば、理解出来よう。

　　　　

　　首尾は如何に？　５．節　１）の竹内関数（Explicit） hn の例と比較すれば

　ピッタリである（結果は、行列転置して比べているが）。

　この　中野関数 hd は勿論　(Tacit) である。

竹内 中野 比　　較

　　　 hn 3 |: (_1 0 1 hd 3 )　　(hn 3) = (|: _1 0 1 hd 3 )　　

_1 0 1 _1 0 1 1 1 1

_2 2 0 _2 2 0 1 1 1

0 1 _1 0 1 _1 1 1 1

_3 0 3 _3 0 3 1 1 1

1 _1 0 1 _1 0 1 1 1

0 _2 2 0 _2 2 1 1 1

_1 0 1 _1 0 1 1 1 1 確かに合致！

　　４）　「中野流　１行　プログラム」　　ｈe

　プログラム作成の「美学」として、最後にたった１行の　ｔａｃｉｔ　プロを

お目に掛けよう。　ｈ　は　hanoii、ｅ　は　ドイツ語の ein（１）　の意味。

　

　 he=: (]&,@3:$[)`((1:A.[he<:@]),.((_1,0,1)&*@]),.(2:A.[he<:@]))@.(1:<])

　　

結果は、直前の例と同じ。　　しかし、この関数入力は、間違い易くて注意が要る！

７．　　ま　と　め

　　様々な工夫で　Chinese Puzzle ' Tower of HANOI ' が楽しめた。

「小学生にも判るように」との条件付けは意味があった。

初等解から発展して、 大人の仲間入り的プログラムが多く試みられた。

しかし、「エレガント」にやれば、先人の真似事に陥るかも？！

大人向けよりは、真の意味で「小学生向け」に今後の発展が欲しいものだ。

　　　　　　　　　　　　　　　 　文　　　　　献

　１）山下 FAX （'05.8.22.16:00） 「ハノイの塔」のＪ版を

　２）西川利男・日本IBM 共著：「基礎からのＡＰＬ」pp.130-132

サイエンスハウス 初版1986、　新装第１版 1991.01.09

　　−ａ）永野・長島「Pascal入門・TURBO Pascal演習」東京大学出版会、1988 初版

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　1996 第２版　p.84 　

　３）西川 FAX （'05.8.22.17:00）　Ｊによる「ハノイの塔」のプログラム

　　−ａ）" J Introduction and Dictionary " 1995 (J2) p.23 RECURSION 　 −ｂ）" J Introduction and Dictionary " 1996 (J3) p.47 22.Recursion

　４）山下 FAX （'05.8.23.11:15） 「ハノイの塔Ｊ版を小学生に判らせたい」　　　

　５）西川 FAX （'05.8.23.13:15） 「ハノイの塔Ｊ版」Tacit版 から Explicit版へ 　

　６）一松信・竹之内修　編「改訂増補　新数学事典」 pp.935-936

大阪書籍　1979 初版、 1991.11.20 改訂増補　

　７）中野 FAX （'05.8.25） 「ハノイの塔」への「中野」論理 　

８）中野 FAX （'05.8.28.） 「ハノイの塔・中野論理」Ｊプロ hand 　

　９）西川 FAX （'05.8.28 ） 「ハノイ塔問題の本質は再帰法にある」

１０）山下 FAX （'05.8.28.19:24） 「再帰法の利点は？　小学生に判るかな？」

１１）中野 FAX （'05.8.29.7:30） 「hr 中野流再帰プログラム」発信

１２）西川 FAX （'05.8.29.7:40） Tacit 構文例の解説を加えよ！

１３）西川 FAX （'05.8.29.10:40）「再帰呼出法」の資料　１１頁

１４）山下 FAX （'05.9.03. 9:53）竹内先生作「ハノイの塔」JAPLA-97 p.22　発見　

１５）中野 FAX （'05.9.21.12:30）「ハノイの塔」Tacit で １行 プログラム完成！　

[付録]　　　　　西川の　ＡＰＬ　プログラム　（貼り付け）