行列式

行列式は関孝和(1642-1708)とライプニッツがほぼ同じころ独自に考案した。 数学の教科書の行列式で関の業績に触れるのは極めてまれである。また、関が5次で 間違えているのことを誇張する書もあるが、 ライプニッツだってもっと早く間違えている。
数学の世界のスーパースターの一人である。墓は大江戸線牛込柳町の浄閑寺。

\[ A= \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix} \] \[ det A = ad-bc \] \[ Aが正則 \leftrightarrow det A \ne 0 \]
経過と解説
行列式-サラスの公式

Sarrus(1798-1861) フランスのストラスブール大学教授
3次の行列式はサラスの公式で計算できる。教科書ではぐるぐる回しで説明されることが多いが、 次の方が簡潔で間違えない \[ \begin{array}{ccc|cc} a&b&c&a&b\\ d&e&f&d&e\\ g&h&i&g&h\\ \end{array} \] \[ \begin{array}{ccc|cc} -2&1&1&-2&1\\ -4&1&3&-4&1\\ -2&2&0.5&-2&2\\ \end{array} \] \( (-2 \times 1 \times 0.5)+(1 \times 3 \times -2)+ (1 \times -4 \times 2)=-15 \)
\( (1 \times 1 \times -2)+(-2 \times 3 \times 2)+ (1 \times -4 \times 0.5)=-16 \)
\( -15-(-16)=1 \)

] B2=: _2 1 1,_4 1 3 ,: _2 2 1r2

_2 1 1
_4 1 3
_2 2 1r2

-/ . * B2
1

サラスは4次の複雑極まりない行列式の計算法も開発したが、殆ど使われていない。
単位行列


単位行列を生成するイディオムはいくつかあるが、次が簡単
=/~ i.5

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1


経過と解説
転置/Transpose


transpose(|:)はJのプリミティブで定義されている。
逆行列




内積と一般内積




\( \begin{pmatrix} a&b&c&d\\ e&f&g&h\\ i&j&k&l\\ \end{pmatrix} \) ] a=. ?. 3 4 $ 12

6 8 4 6
5 4 10 4
8 7 9 8
\( \begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ j&k&l\\ \end{pmatrix} \) ] b=. ?. 4 3 $ 12

6 8 4
6 5 4
10 4 8
7 9 8
\( \begin{pmatrix} aa+bd+cg+dj& ab+be+ch+dk & ac+bf+ci+dl\\ ea+fd+gg+hj &eb+fe+gh+hk &ec+ff+gi+hl \\ ia+jd+kg+lj &ib+je+kh+lk &ic+jf+ki+ll\\ \end{pmatrix} \) a +/ . * b
166 158 136
182 136 148
236 207 196




経過と解説

最少自乗法


経過と解説

QR分解とシュミット直交化



経過と解説
QR法-固有値を求める



QR法は非対称行列も処理する

ファディーエフ・ルベリエ法(固有値を求める優雅な方法)


ルベリエは海王星の存在を予言したエコール・ポリテクニークの天文学、数学者。 ファディーエフは1950年ころ活躍したソ連の物理学者。