合計と累計


10歳のガウス少年は階差198の数列100個を足し上げる問題を アルゴリズムでさっと解いて提出し先生を疑惑に包んだ。

+/ >: i.10
55

+/ >: i.100
5050

i.10 0から始まる数列をn個打ち出す。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
>:+11 2 3 4 5 6 7 8 9 10
+/\( \sum \)
/は作用素で+を数列の間に挿入
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10


累計/running total を求める

串刺し算


配列に作用させる軸はランク("n)で指定する

テーブル(マトリクス)では

 2面のテーブルはレポート。クラス毎の表や営業所の月次

 串刺し算で集計できる

?. 2 3 4 $ 24
18 20 4 18
17 4 10 4
20 19 9 8

19 17 13 8
21 4 1 17
17 3 13 1

+/ ?. 2 3 4 $ 24
37 37 17 26
38 8 11 21
37 22 22 9

経過と解説


GCD LCM


GCD(Great Common Divicer 最大公約数)は +.
LCM(Least Common Multiple 最小公倍数)は *.
に割り付けられている

12 +. 15 18 24
3 6 12
12 *. 15 18 24
60 36 24

Jは原始関数(プリミティブという)をキーボード記号に割り付けています。
キーボード記号が足りないので右にピりオッド/ドット(.)やコロン(:)を付けます。これで3通り できます。
更に3 + 4 の様に両側に引数を採る場合と *:2 \( \sqrt{2} \)の様に右のみに取るばあいが あります。これらを、両項型、単項型といい、一つの記号であわせて6通りが割り付けられています
機能的に似たものは纏めてあるので、最初は戸惑ってもなれればとても簡単です。

キーボード記号のみでは足りないので、アルファベットの大文字、小文字にドット やコロンを付けています。


素数

素数を最初から20個求める p:(Pコロン)

p: i.2 10
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

因数分解は q: (Qコロン)

q: 60 130
2 2 3 5
2 5 13 0

プリミティブ(原始関数)には


がある。


単語表JのHelpに入っている Vocabulary や同じくHelpからネットでたどれる NYJ Users GroupのNuVocでは書体や色で区分している


連立方程式


連立方程式は古代中国が世界に放った理論。 秦や漢の数学を集めた数学書「九章算術」の注釈書を263年に劉徴が表している。 (国会図書館和算書デジタルコレクションに画像で入っている)

連立方程式拡大係数行列
\[ \left\{ \begin{array}{cc} x-y+z&=-5\\ 2x+y-z&=19\\ 3x+2y-z&=16\\ \end{array} \right. \] \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&-5\\ 2&1&-1&19\\ 3&2&-1&16\\ \end{array} \right) \]
移項ではないので符号は変えない

拡大クラメール法で解を求める。(教科書に載っているクラメール法よりずっと 簡単)
ガブリエル・クラメール(Ⅰ704-1752)はスイスの数学者

\[ \dfrac{係数行列}{拡大係数行列} \] \[ \dfrac{ \left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1\\ 2&1&-1\\ 3&2&-1\\ \end{array} \right)} { \left( \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&-5\\ 2&1&-1&19\\ 3&2&-1&16\\ \end{array} \right)} \]




パスカルの三角形

!~/~i. 5
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
1 3 3 1 0
1 4 6 4 1

ヘロンの公式

ヘロンは紀元前後にアレキサンドリアで活躍したギリシャ人のエンジニアで数学者。 縄だけで土地測量ができる画期的な方法で実数の範囲まで応用できる。

\( s= \dfrac{a+b+c}{2} \)

\( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)

heron=: 3 : '%: */ s, (s=. -: +/ y) - y'

heron2=: [: %: [: */ (-~s), s=: [: -: +/

heron 3 4 5
6

経過と解説

組み合わせ


\[ n(n-1)\cdots (n-r+1)=\begin{pmatrix} n\\r\\ \end{pmatrix} \times r! \] \[ \begin{pmatrix} n\\r\\ \end{pmatrix}= \dfrac{n(n-1) \cdots (n-r+1)}{r!} \] \[ \begin{pmatrix} 26\\4\\ \end{pmatrix}= \dfrac{26 \times 25 \times 24 \times 23} {4 \times 3 \times 2 \times 1}=14950 \] 4!26
14950
組み合わせのテーブル


tap \( \leftarrow \) table of permutation
Jの辞書のA. Anagram にあるイディオム
tap=:i.@! A. i.

tap 3 (tap 3){'abc'
0 1 2
0 2 1
1 0 2
1 2 0
2 0 1
2 1 0
abc
acb
bac
bca
cab
cba


経過と解説
フィボナッチ数と黄金比


経過と解説
バーゼル問題(数値計算から)


\[ 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+ \cdots  + \dfrac{1}{k^{2}}+ \cdots \] の和の正確な値は何であろうか。ピエトロ・メンゴリの問題(1644)は多くの数学者を悩まし続け ヤコブ・ベルヌイの次の敗北宣言(1689)からバーゼル問題と呼ばれた。
「もし、誰かが私たちの努力から逃れていた発見をして報告してくれたなら、私たちは その人に大いに感謝します」
ベルヌイ門下の若きオイラーが1735年にこの問題を解決した。 \[ \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6} \]
\( \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{2}} \)の収束は遅い。

\( \dfrac{ \pi^{2}}{6} \) 12j10 ": 1p2 % 6x 1.6449340668
100 12j10 ": +/ %@^&2 >:i.1001.6349839002
1000 12j10 ": +/ %@^&2 >:i.10001.6439345667
10000 12j10 ": +/ %@^&2 >:i.100001.6448340718
10000000 12j10 ": +/ %@^&2 >:i.100000001.6449339668

\( \dfrac{1}{10000000^{2}}\) まで計算しても=とは出来ないだろう。
数学界のモーツアルト、若きオイラーの華麗な数論のデビュー作であり、 オイラーは生涯にわたり何通りかの変奏曲(証明)を著している。実際の演奏は W.ダンハム(黒川他訳)「オイラー入門」など類書で聞いていただくこととしよう。 \[ 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+ \cdots = \dfrac{\pi^{2}}{6} \] 経過と解説
ライプニッツ級数


ヘンデル(1685-1759)とライプニッツ(1646-1716)は同じ国王に時期を違えて仕えた。 ヘンデルがハノーバー選帝侯の宮廷楽長のままイングランドに渡って間もなく、選帝侯が イギリス国王ジョージI世として追いかけてきた。今のウインザ王朝の初代である。 ライプニッツは英雄ニュートンと確執のあったライプニッツをハノーバーに置き去りにした。
\[ \dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9} \cdots \] 経過と解説