ルネッサンスのイタリー

フィボナッチ

フィボナッチの本当の名はレオナルド・ダ・ピサ。

ピサ出身のレオナルド（1170頃-1250頃）。父が現在のアルジェリアに 仕事を求めたのに従いアラブ世界で最新の数学を学ぶ。

1202年に 帰国し「算盤の書」を表し、アラビア数学を後進国ヨーロッパに広めた。

フィボナッチ数

• 数式 \[ F_{n}= \left\{ \begin{array}{ccc} 0&&if \ \ n=0 \\ 1&&if \ \ n=1\\ F_{n-1}+F_{n-2}&&if \ \ n > 1\\ \end{array} \right. \]
• マトリックス・フォーム \[ \begin{bmatrix} F_{k+1}\\ F_{k+2}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 &1\\ 1&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{k}\\ F_{k+1}\\ \end{bmatrix} \]
• Script

  
    fib=:  (0 1,:1 1)&(+/ . *) 
  |:   fib ^: (i.16) 1 1
  1 1 2 3 5  8 13 21 34 55  89 144 233 377 610  987
  1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
   

• 黄金比 フィボナッチ数から黄金数を求めることができる \[ k \rightarrow \infty\] , のとき \[\dfrac{f_{k+1}}{f_{k}}\]は黄金比に近づく。

     a,. %/"1 a=. |."1 fib ^: (i.16) 1 1 
     1   1       1
     2   1       2
     3   2     1.5
     5   3 1.66667
     8   5     1.6
    13   8   1.625
    21  13 1.61538
    34  21 1.61905
    55  34 1.61765
    89  55 1.61818
   144  89 1.61798
   233 144 1.61806
   377 233 1.61803
   610 377 1.61804
   987 610 1.61803
  1597 987 1.61803
  

• 黄金比と固有値
  固有値に黄金比が内在している。 \[ \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix} \]

  
     char_lf 0 1,: 1 1
  +-+-----------------+-------+
  |1|1.61803 _0.618034|_1 _1 1|
  +-+-----------------+-------+
  
  

  特性方程式 \[y=-1-x+x^2\]の解

  
    p. _1 _1 1
  +-+-----------------+
  |1|1.61803 _0.618034|
  +-+-----------------+
  
  左の1はシステムのリピート回数
  
  

ルネッサンスの時代

• 1453年に東ローマがトルコに滅ぼされ、グレコローマのギリシャ文化が西側社会に流れ込んだ。
• グーテンベルグ(1398-1468)　活版印刷による（グーテンベルク）聖書の印刷（1455年）。
• 1492年にイスラム軍がアルハンブラ宮殿の鍵を渡して去って、スペインがカトリックに戻った
• 1492ユダヤ商人の援助でユダヤ人コロンブスがスペインと10年あまり交渉し 新大陸の副王の権利を獲得して、西回りの航海に出て、南北アメリカ大陸が ヨーロッパ人の前に顕れた。
• 1497　バスコ・ダ・ガマが喜望峰を回ってインドへ到達した。
• 1517　改革派マルチン・ルターが張り出した一枚の紙（95か条の論題） が宗教紛争を招き、多くのラテン語以外の 諸国はバチカンから離れた。

  バチカンも大忙しで、混乱は包容力を無くして保守化し、 大進化時代を迎えた科学との軋轢も激しかった。

• 1527 サッコ・ディ・ローマ（ローマ大略奪）
• フィレンチェ近郊のビンチ村生まれの庶子レオナルド・ダ・ビンチは1619年に 南フランスで客死した。
• イングランドはチュウダ朝最後の女王エリザベスの時代(在位1558-1603)で 父の始めた国教会が制度化された。

カルダノ、タルタリア、フェラーリ

カルダノ(1501-1576)はギャンブラーで医者、数学者。生涯は波乱万丈。頭脳をギャンブルに使い、 「さいころ遊びについて」という本を書き、期待値の考え方を提示したが、出版は死後の1633年。

この時代は数学試合が注目された。カルダノはタルタリアから３次方程式の解法を公開しないとの 約束で教えてもらい約束を反故して1545年に「アルス・マグナ」の中で公開し、悶着を起こす。

タルタリアもギャンブラーに只で教えるほどお人よしではなかろうし、この解法は、タルタリアが 1537年に書いた著書でも公開しておらず、公開する意思は無かったようだ。

カルダノは10年経てから公開したが、カルダノが公開しなければ、 タルタリアの功績は記録されず、後世のビッグネームに、 手柄を横取り、独り占めにされたかもしれない。

近頃はアルゴリズム特許などまた変なものが流行って来た。 \[ ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 \] \[ -\dfrac{b}{3a}+^{3}\sqrt{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2} +\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}}} ^{3}\sqrt{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2} +\left(\dfrac{p}{3}\right) ^{3}}}\\ \] \[ -\dfrac{b}{3a}+ \omega ^{3}\sqrt{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2} +\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}}} +(\omega^{2}) ^{3}\sqrt{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2} +\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}}} \] \[ -\dfrac{b}{3a}+(\omega^{2}) ^{3}\sqrt{-\dfrac{q}{2} +\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}}} +\omega ^{3}\sqrt{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2} +\left(\dfrac{p}{3}\right) ^{3}}} \] - \[ \left\{ \begin{array}{l} \omega=\dfrac{-1\pm i \sqrt{3}}{2}\\ p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{b}{a} \right)^{2}\\ q=\dfrac{d}{a}-\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{b}{a} \right) \left( \dfrac{c}{a}\right) +\dfrac{2}{27}\left( \dfrac{b}{a} \right) ^{2}\\ \end{array} \right. \] カルダノの弟子フェラリは４次式の公式を発見している。