近世フランスの数学

フランソワ・ヴエイト（1540-1603)

ヴエイトはフランスの数学者のトップバッター
アンリー3世(暗殺）と４世に仕えた。1598のナントの勅令時にアンリー4世に従ってカトリックに改宗した
法律家でグレゴリオ暦の採用反対運動やコペルニクスの天動説にも反対した保守派。
高名な暗号解読者でスペイン軍の暗号解読も行った。

ヴエイトの数学の功績

代数に記号を導入。その後デカルトが洗練した
- 既知量を子音字で未知量を母音字で　
- $+ ,-, aequatur(=), quadratus (a^{2}) , cubus (a^{3})$ 　
代数式に・(etcetra)を記入し無限の繰り返しを導入した

ヴエイトの$\dfrac{2}{\pi}$の無限積

\[\dfrac{2}{\pi}= \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}}} \cdot \cdots \] 巧妙な級数式と$\pi$が表れている。

Jでの経過と解説

反復するJの関数。文字列にしておき、組み合わせてから数値化( ".)する
```
f0=: ' %: 1r2 ' 
f1=:  ' + 1r2 * %: 1r2 ' 
```

アルゴリズム　反復のパターンを整理する \begin{supertabular}{p{10zw}|p{20zw}|p{10zw}}\hline

\[\dfrac{2}{\pi}\]		2%1p1 0.63662
\[\sqrt{\dfrac{1}{2}}\]	%: 1r2	". f0 0.707107
\[ \sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}} \]	%: 1r2 + 1r2 * %: 1r2	". f0,f1 0.92388
\[ \sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}}}\]	%: 1r2 + 1r2 * %: 1r2 + 1r2 * %: 1r2	". f0,f1,f1 0.980785

反復の構成と計算

 */ (". f0) , (".f0 , f1)
0.653281
 */ (". f0) , (".f0 , f1),(". f0,f1,f1)
0.640729
   */ (". f0) , (".f0 , f1),(". f0,f1,f1),(". f0,f1,f1,f1)
0.637644
   */ (". f0) , (".f0 , f1),(". f0,f1,f1),(". f0,f1,f1,f1),(". f0,f1,f1,f1,f1)
0.636876

収束はそれほど早くないが、$ \pi $を級数で表すことができた記念碑である

円関数の加法定理

\[ sin(x+y)=(sin x)(cos y)+(cos x)(sin y)\] \[ cos(x+y)=(cos x)(cos y)-(sinx)(sin y)\]

require 'numeric trig'
   sin +/  rfd 30 45
0.965926
   sin rfd 75
0.965926

２倍角の公式

\[sin 2 \alpha= 2 sin \alpha cos \alpha \] \[ cos 2 \alpha= cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha \] \[ tan 2 \alpha = \dfrac{2 tan \alpha}{1- tan^{2} \alpha}\]

加法定理を用いた証明 \[ sin (\alpha + \beta)=sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta\] $ \alpha = \beta $とすると \[ sin 2 \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha \]

例題と解

$ sin \alpha=\dfrac{1}{3}$のとき、　$sin 2 \alpha$を求める。
ただし、$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2} $とする

$sin^{2}+cos^{2}=1 $より
$cos ^{2}=1-sin^{2}=1-\dfrac{1}{9}$
( $cos \alpha > 0$なので )
$cos \alpha = \sqrt{\dfrac{8}{9}}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$
$sin 2 \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha $ $ = 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{4 \sqrt{2}}{9}$

経過と解説

arcは円関数の逆関数である。

   sin 2*  arcsin 1r3
0.628539


  2*1r3* %: 8r9
0.628539

バロックとロココの時代

文化史としてのバロック時代は1600頃から大バッハの死(1750)頃を言う。

1598 ブルボン朝アンリー4世ナントの勅令
1633 ガリレオ・ガリレーの「天文対話」にローマ法王庁は有罪判決を下す
ルイ14世在位(1643-1715) 最長の在位記録はギネスに登録

アカデミーの創設

絶対君主の創設したアカデミーはプロの学者の絶好の住処であった。天文、物理系ならば天文台長、雑務や制約も多い大学教授はその次か。聖職者で学者というパターンも多い。イングランドではこのような枠外のコーヒーハウス(市民の学校を兼ねた）がら出てきた者もいる。

1660 イングランド　王立協会
1667 パリ
1725 ペテルベルグ
1746 ベルリン

デカルト

カトリックの厳格派イエスズ会が東洋や南米に布教し、科学技術を伝えた。
デカルト(1596-1650)はイエスズ会に所属した哲学と数学が好きな朝寝坊の軍人で貴族。
生まれた南フランス・ツールーズの近郊の町ラ・エは最近デカルト市となった。
30歳ころまでバイエルン選帝公に雇われ、ボヘミヤ戦争に従軍と勉学とを繰り返し、
最後の20年はオランダ各地に隠棲したが、最後は不幸にもスウェーデンの朝の5時から哲学の勉強を始める学問と鍛錬の好きな若き女王クリスティーナに招かれて、春に到達したがその冬に寒いストックホルムで風邪を引き命を落とした。

哲学者デカルトは万物を数で表したいと思っていた。この思いは孫弟子の哲学者ライプニッツに受け継がれた。

図形と座標の統合

デカルトは図形も数で表そうと考え図形に座標を与え、幾何学と代数を統合した。

パスカル（1623－1662）

中部フランスクレルモン生まれ。パスカルの三角形のJのスクリプト。

ド・メレの問題

パスカルがシュバリエ・ド・メレから相談を受けてフェルマと書簡を交わした問題が確率論の始まりとされる

賭けの勝負がつかないうちに何らかの理由で中止したとき、賭け金をどう配分すればよいか
「1つのサイコロを4回投げて、6の目が出れば自分の勝ち」という賭けをしたときは、自分が勝てた。次に、「2つのサイコロを24回投げて、6、6のゾロ目が出れば自分の勝ち」という賭けをしたときは、勝てなかった。ド・メレの考えでは、両方とも自分が有利な賭けのはずだったのになぜ負けたのか。

一個のサイコロを振った場合の期待値

   1r6 * >:i.6     NB. 各々の目の出る確率
1r6 1r3 1r2 2r3 5r6 1

   +/ 1r6 * >:i.6  NB. 一個のサイコロの期待値
7r2

一個のサイコロを4回振った場合、ある目が出ない確率
目の出ない方の確率を求めることが大切。
```
　
   _1 x: ^&4]  5r6
0.482253
```
「サイコロ2個を24回振って少なくとも一回 6のぞろ目が出れば勝ち」という賭けを行ってひどい目にあった。 2項分布から計算できる。24回という数が賭けに適している。 \[ P[X-k]=_{n}C_{k}p^{k}(1-p)^{n^k}\]
```
  24x binom 1r36

 0    0.508596  NB. 一度も出ない確率
 1    0.348752　NB. 1回出る確率
 2     0.11459　NB. 2回出る
 3   0.0240093
 4  0.00360139
 5 0.000411588
 6  3.72389e_5
..........

  +/ }. 24x binom 1r36
 0.491404
 
 概ね51：49
```

Script

NB. binoinal distribution 
binom0=:4 : '(k!x )*(y ^ k)*(-. y )^|.k=: i. >: x '
NB. written by Giichiro Suzuki
binom=: 4 : '(i.>: x) ,._1 x:  x binom0 y'

次でも求められる
```
   _1 x: ^&24] 35r36
0.508596
```

フェルマ(1601-)

フェルマーはガスコニュー地方ツールズ市の議会の高級法務官僚で数学は趣味。一生をツールズで過ごした。

1621年にパシェ（1581-1638)がアレキサンドリアのディオファントス著「アリトメチカ」の現存していた6巻をギリシャ語、ラテン語対訳で出版
1630年代にフェルマがこれを読み広い欄外に48箇所の「欄外ノート」の書き込み
フェルマの大定理も含まれている $$x^{n}+y^{n}=z^{n}$$
フェルマの息子サミュエル・ド・フェルマが書き込んだ欄外ノートを付きのパシェを 1670年に復刊

フェルマ数

\[ 2^{2^{x}}+1 \] フェルマはこの形の数が素数であると書簡で主張した。

残念ながらフェルマ素数とはならなかった。

   ferma >:i.6x
5 17 257 65537 4294967297 18446744073709551617 
1  2  3   4       5          6   NB. 
   q: ferma 5x  NB. 
641 6700417

   q: ferma  6x
274177 67280421310721

ferma=: 3 : 0
>: 2^(2^y)
)

多角数定理

どのような数もたかだかn個のn角数の和に表される

n番目の三角数は \[T_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2} \]

三角数の生成(J流）

   <\>:i.7
+-+---+-----+-------+---------+-----------+-------------+
|1|1 2|1 2 3|1 2 3 4|1 2 3 4 5|1 2 3 4 5 6|1 2 3 4 5 6 7|
+-+---+-----+-------+---------+-----------+-------------+

 ] a=.  +/\>:i.10  NB. 最初の7個
1 3 6 10 15 21 28

7個の三角数のうち2個または3個であらわすことが出来る数(重複可）

   3 10 $ ferma2 ''
 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Script

ferma2=: 3 : 0
NB. Usage ferma2 ''
tri=:+/\ >:i.7
tmp=: tap 7
 x1=:~. /:~ +/"1 (~.3{."1 tmp){ tri
 x2=:~. /:~ +/"1 (~.2{."1 tmp){ tri
 x30=: { (~. 2{."1  tmp){tri
 x3=:  ~. /:~  ;+/ L:0 (2 1 * L:0 x30 )  , 1 2 * L:0 X30
 x4=. 2 * tri  
~./:~x1,x2,x3,x4
)

フランス革命の頃の数学

イングランドはスチュアート朝の国王を斬首、追放と2度放逐したが、同じスチュアート朝の女王をオランダから迎え、穏健な王制下での改革の道を選んだ(名誉革命）

フランスも革命、王政復古、7月革命と似たパターンをたどったが、国王が国政を議会側に委ねることなく2月革命で国王が退位して共和制を選んだ。

ラグランジュ（1736－1813）

生まれはサルディニア王国のトリノ。
オイラーの推挙でプロイセンのアカデミーにオイラーの後釜に招かれた。
ラボアジェの招きでフランスアカデミーに変わり、マリーアントワネットの家庭教師も務めた
フランス革命に遭遇し、ラボアジェは斬首されたが、命を取り留めた
技術重視のナポレオンが創設した技術幹部養成学校エコール・ポリテクニークの初代校長