viewmat

デジタル画像のファイル

デジタル画像の多くはカメラから出る。大半は非可逆圧縮のJPEG,ハイグレードは非圧縮のRAW
あまりファイルとは呼ばない。
情報処理の世界では非圧縮のBMPと圧縮のGIFがあった。GIFはライセンスの関係でPNGに変わっている
DTPの世界はポストスクリプトのEPS
TeXはEPSが中心であったが、近頃はJPEGやPNGも使えるようになった。

先ずBMPのデジタル画像を観る

BMPはデジタル画像のオリジナル

カメラは何千万画素とスペックを競うが、このスペックと画像の関係も見渡しながらデジタル画像に触れてみる

Jのデモでよく用いられているtoucan.bmp を作業フォルダ c:/temp にコピーしておく

     addons/labs/labs/examples/data/toucan.bmp
     addons/labs/labs/examples/data/toucan.png

HTMLはpngもとおる

viewmat のロード

    require 'viewmat bmp png' NB. J805
    require 'viewmat bmp '    NB. J602

BMPの読み込み
- ファイルは144*200=28800 と小さい
- ピクセル上にRGBフィルターを配置する方式はメーカー毎の極意があるようだ。
- 画像ファイルには各ピクセルのRGBを256進法でひとつの数字に変換したものが並べてある
- 手許のコンデジは1600*1200=1,920,000。RGB フィルターで4倍しても1Gピクセルで余力がある。
toucanを見る
- J602 , J805
```
 viewrgb  readbmp 'c:/temp/toucan.bmp' 
```
- 次では画像が崩れてしまう
```
 viewmat  readbmp 'c:/temp/toucan.bmp' 
```
- J805のデモはpngでやっている。RGBの数字が異なる。
```
 viewpng 'c:/temp/toucan.png' 
```
- J805では次もとおる
```
   viewpng 'c:/temp/toucan.bmp'
```

BMP と RGB

基底と逆変換（Base　Untibase)

    2 #. 1 1 1
7
    16 #. 1 1 1
273

   16 16 16 #: 273
1 1 1

右下の10*10ピクセル

   _10{. _10{."1 a0

16718116 16718116 16718116 16718116 16718116 16719144 16721200 15598092 6952454 0
16718116 16718116 16718116 16719144 16721200 16649497  9504006  1389569  485632 0
16719144 16720172 16722228 16718374 10683141  2373889   546048   486656  486656 0
16649497 16449801 11535625  5186308   546048   486656   486656   486656  486656 0
 3809794  1389569   613889   486656   486656   486656   486656   486656  486656 0
  485632   486656   486656   486656   486656   486656   486656   486656  486656 0
  486656   486656   486656   486656   486656   486656   486656   486656  486656 0
  486656   486656   486656   486656   486656   486656   486656   486656  486656 0
  486656   486656   486656   486656   486656   486656   486656   486656  486656 0
       0        0        0        0        0        0        0        0       0 0

RGB分解
```
   256 256 256 #: 16718116
255 25 36
```

全ピクセルを一度にRGBに変換.　BOXを用いる

   256 256 256 #: L:0  {@> _10{. _10{."1  a0
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|255 25 36|255 25 36|255 25 36|255 25 36|255 25 36|255 29 40|255 37 48|238 2 12|106 22 6|0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|255 25 36|255 25 36|255 25 36|255 29 40|255 37 48|254 13 25|145 5 6  |21 52 1 |7 105 0 |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|255 29 40|255 33 44|255 41 52|255 26 38|163 3 5  |36 57 1  |8 85 0   |7 109 0 |7 109 0 |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|254 13 25|251 1 9  |176 5 9  |79 35 4  |8 85 0   |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0 |7 109 0 |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|58 34 2  |21 52 1  |9 94 1   |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0 |7 109 0 |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|7 105 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0 |7 109 0 |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0 |7 109 0 |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0 |7 109 0 |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0  |7 109 0 |7 109 0 |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+
|0 0 0    |0 0 0    |0 0 0    |0 0 0    |0 0 0    |0 0 0    |0 0 0    |0 0 0   |0 0 0   |0 0 0|
+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+--------+--------+-----+

デジタル画像は256進に変換したRGB数字の羅列である
カラーブックなどを見ると印刷用のCMYKや他の方式も紹介されている

viewmatと3種類の数

マトリクスをグラフィックスで表示するviewmatで３種類の数が扱える。

整数多色のメッシュ RGB256色で1600万色

バイナリー 2色の格子

複素数矢印矢印でベクトルを表示

Jのデモより

JのHelp/Studio/Lab 　にViewmatの詳細なチュートリアルが入っている。

sier0=: 3 : 0
NB. sierpinsky gasketto
NB. u y (e.g. 3;256)(7;712)
'NR SIZE'=: y 
Y0=: NR&#. ^:_1 i. SIZE 
viewmat Y0 +./ . *. |: Y0
)

viewmatでみる名画

新美術館で後期印象派のスーラやシニャックの点描の世界から分離派のゴッホ、更にはモンドリアンまでの「点描派の世界」展が開催されたので駆けつけた
デジタルの世界でもジュリア、マンデルブロート、バーンスレーの名画がある。
この項のJのスクリプトの多くはC.Reiterによる。

ジュリア集合

イングランドのケーリー卿は多項式に関するニュートン・ラフソン法の適用範囲を複素数に広げ、根の近くから始点を選ぶのではなく固定吸引点を求める問題に拡張し, 複数の解の吸引圏の境界問題を懸賞問題とした。（1879 年）
この問題はファトウとジュリアにより解決された。
複数の解の吸引圏の境界を始点に選んだ場合は数列 \[zn+1 = zn \dfrac{P(xn)}{P_{0}(xn)} \] は P の根に近づくことなく、境界上を彷徨う。その集合がジュリア集合である。

フランスの数学者ガストン・ジュリアがジュリア集合を提唱したのは1918年。マンデルブロート集合の原型である。

ジュリア集合は \[ z_{n+1} = z_n^{2} + c \] において複素数 c を固定した場合に，この漸化式が無限大に発散しないような初期値 z0 を与える集合。

f7=:  +&_0.2j0.8@(^&3) NB. triple -> add _0.2j0.8

\[fx= z^{3}-0.2j0.8\]

反復計算 100回リピート　4を越える最大値は4とする

escapet=: 2 : 0
NB. Usage: (f5 esc0   4 100 ) 0.3 1 // OK
NB. 0.3 1 is initial numbers for julia set
'a0 b0'=: n
# TMP=.(,u@{: )^:(<&b0@# *. <&a0@:(+/)@:|@:{: )^:_ ,: y
)

 viewmat  (f7 julia0 4 100) fjx _1.5 512

ジュリア集合のカンバスを作る。3Dを色で表現

NB. fx for jullia(mk canvas
fjx=: 3 : '|.|: j./ ~ ({. y)+3*(i.%<:) {: y'

ダイレクト　フォーミュラ

 viewmat ((+&_0.678j0.312@*:) julia0 4 100) fjx _1.5 512

Script

julia0=: 2 : '>(u escapet n) L:0 {@> y'
julia=: 2 : '>(u escapet 4 256) L:0 {@> fjx _1.5 512'

 viewmat (f5 julia0 4 100) fjx _1.5 512        NB. J8 OK

マンデルブロート集合

マンデルブロート集合は次の斬化式からなる。
znが無限大に発散しないcの値を図示したもの
細かいメッシュ状の複素マットの各メッシュ状の点(複素数)をざん化式に入れ、発散しない場合はその値、発散する場合は2などの上限値をマットに書き込み、viewmatで眺める
。viewmatの多色機能でマットが3D のように表示できる。
そこに、マンデルブロート集合の図が浮かび上がる。 \[ \left\{ \begin{array}{ll} z_{n+1}=z_{n}^{2}+c & (N=0,1,2) \\ z_{0=}0&\\ \end{array} \right . \]
- c=2の場合 --> 発散する \[ \begin{array}{ll} z_{1}=0^{2}+2&=2\\ z_{2}=2^{2}+2&=6\\ z_{3}=6^{2}+2&=38\\ z_{4}=38^{2}+2&=1446\\ \vdots&\\ \end{array} \]
- 複素数 c=0.2iの場合 \[z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\] \[ \begin{array}{ll} z_{1}=0^{2}+0.2i&=0.2i\\ z_{2}=(0.2i)^{2}+0.2i&=-0.04+0.2i\\ z_{3}=(-0.04+0.2i)^{2}+0.2i&=-0.0384+0.184i\\ \vdots&\\ \end{array} \]
- この点は収束するが、複素数でも収束と発散するポイントが近接している。
- マンデルブロート集合の図は収束と発散の境界を示す
```
 viewmat mandelt fmx _2j_1.5  256
```

バイナリを用いた名画　Hilbert curve

J６のグラフィックスのサンプルに入っているヒルベルトの例

  hp 0,0 1 0,:0

0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0

 viewmat hp 0,0 1 0,:0

 NB. Cris Burke/Aug. 2004
 NB. Hilbert curve
  hp=: 3 : '(|.,]) 1 (0 _2 _2 ,&.> _2 _1 0 + # y) } (,.|:) y'
  viewmat hp ^: 5 [ 0, 0 1 0 ,: 0

C.Reiterによるバーンスレーの羊歯のフラクタル図形


   }:"1 fern_rt ^:(i.10) 0.5 0.5 1
     0.5       0.5
  0.3525     0.229
0.346285   0.35055
0.333711  0.153166
    0.25 0.0245066
 0.25098  0.180831
 0.20318  0.200008
0.188634  0.193233
0.205568  0.326703
    0.25 0.0522725

 499* }:"1 fern_rt ^:(i.10) 0.5 0.5 1

  249.5   249.5
  84.83 163.423
97.3549 220.346
110.278  268.23
52.1158 135.522
 124.75 21.6835
130.821   27.16
130.997 102.683
134.167 166.871
 139.43 221.304

 
   ]a=. ,. ;/ roundint 499* }:"1 fern_rt ^:(i.10) 0.5 0.5 1
+-------+
|250 250|
+-------+
|125 40 |
+-------+
|126 114|
+-------+
|156 50 |
+-------+
|154 121|
+-------+
|99 113 |
+-------+

viewndx=: 3 : 'viewmat |.|: 1 (;/roundint 499 * y.) } 500 500$0'
NB. ==============================
t0=:mp&(4 6 mk_gm 0.16 0.25)
t2=: mp&(0 1 3 4 6 7 mk_gm 0.2 0.23 _0.26 0.22 0.2 0.1025)
t1=: mp&(0 1 3 4 6 7 mk_gm 0.85 _0.04 0.04 0.85 0.0375 0.17)
t3=: mp&(0 1 3 4 6 7 mk_gm _0.15 0.26 0.28 0.24 0.2875 _0.021)
fern_rt=: t0`t1`t2`t3 @.(?@9: { 0 1 1 1 1 1 1 2 3"_)
NB. ==============run===OK============
run_fern=: 3 : 'viewndx }:"1  fern_rt^:(i.20000) 0.5 0.5 1'
      
   roundint
<.@:+&0.5

Script

DL Code

Reference

C.Reiter Fractal Visualization and J (J Lab) 西沢/関口/吉野「フラクタルと数の世界」海文堂　1991

整数	多色のメッシュ	RGB256色で1600万色
バイナリー	2色の格子
複素数	矢印	矢印でベクトルを表示

viewmat

デジタル画像のファイル

先ずBMPのデジタル画像を観る

BMP と RGB

viewmatと3種類の数

viewmatでみる名画

ジュリア集合

マンデルブロート集合

バイナリを用いた名画 Hilbert curve

C.Reiterによるバーンスレーの羊歯のフラクタル図形

Script

Reference

バイナリを用いた名画　Hilbert curve